An introduction to the geometry of N dimensions by D.M.Y. Sommerville

By D.M.Y. Sommerville

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Setze ψ: RR → R, ψ(f ) = sup arctan f (s). s∈R Dann ist ψ genau dann bei f stetig, wenn f nach oben unbeschr¨ ankt ist. 15 (a) Sei T1 ein topologischer Raum mit der gischen Raum T2 jede Abbildung f : T1 diskrete Topologie. (b) Sei T2 ein topologischer Raum mit der gischen Raum T1 jede Abbildung f : T1 indiskrete Topologie. Eigenschaft, dass f¨ ur jeden topolo→ T2 stetig ist. Dann tr¨ agt T1 die Eigenschaft, dass f¨ ur jeden topolo→ T2 stetig ist. 10). Dann ist die Abbildung add: RR × RR → RR , (f, g) → f + g stetig.

2, ist kompakt. 27 Sei T ⊂ [0, 1][0,1] die Menge der monoton wachsenden Funktionen, versehen mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Dann ist T kompakt. 28 Beweise den Satz von Arzel` a-Ascoli mit Hilfe des Satzes von Tikhonov gem¨ aß folgender Anleitung. F¨ ur eine Funktion δ: (0, ∞) → (0, ∞) mit limε→0 δ(ε) = 0 und f¨ ur K > 0 betrachte die Menge Mδ,K derjenigen Funktionen f auf S mit ur alle ε > 0. Zeige, dass Mδ,K f ∞ ≤ K und sup{|f (s) − f (t)|: d(s, t) ≤ δ(ε)} ≤ ε f¨ bez¨ uglich der Topologie der punktweisen Konvergenz kompakt ist und dass die idenuglich der Topologie der punktweisen Konvergenz und tische Abbildung auf Mδ,K bez¨ der Topologie der gleichm¨ aßigen Konvergenz stetig ist.

Ein kompakter Raum, der nicht folgenkompakt ist: Sei S = {(sn ): 0 ≤ sn ≤ 1 ∀n} die Menge aller Folgen in [0, 1]. Dann ist T := [0, 1]S in der Produkttopologie nach dem Satz von Tikhonov kompakt. 30 I. Topologische R¨ aume Betrachte nun zu k ∈ N die Funktion fk : S → [0, 1], (sn ) → sk . Dann hat die Folge (fk ) in T keine konvergente Teilfolge. ). Das stimmt ur n = k2j , sn = 0 sonst, sieht. 6 Zusammenh¨ angende R¨ aume W¨ ahrend der topologische Raum R aus einem St¨ uck“ zu bestehen scheint, ist ” [0, 1] ∪ [2, 3] unzusammenh¨ angend“.

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